Roche határ

 
A Roche határtól távol a kísérő égitest gyakorlatilag gömb alakú.
Closer to the Roche limit the body is deformed by tidal forces.
A Roche határ közelében az árapály erő miatt torzul az alakja.
Within the Roche limit the mass's own gravity can no longer withstand the tidal forces, and the body disintegrates.
A Roche határnál a hold saját gravitációja a bolygó árapály ereje ellenében már nem tudja összetartani az anyagát, ezért szétdarabolódik.
Particles closer to the primary move more quickly than particles farther away, as represented by the red arrows.
A bolygóhoz közelebbi darabok gyorsabban  mozognak mint a távolabbiak.
The varying orbital speed of the material eventually causes it to form a ring.
A törmelékdarabok eltérő keringési sebessége miatt egy gyűrű alakul ki.

A Roche határ, vagy Roche sugár az a távolság egy bolygó centrumától, amelyen kívül keringhetnek körülötte holdak. A Roche határon belül a bolygótól származó gravitációs árapály erőszétszedi, feldarabolja a holdat, és egy törmelékgyűrű alakul ki. Az elnevezés Édouard Roche, francia csillagászra utal, aki 1848-ban elsőként számolta ki ennek az elméleti határnak az értékét.

Megjegyzendő, hogy a Roche határ nem tévesztendő össze a szoros kettőscsillagoknál fontos Roche lobe (üreg) vagy Roche felület fogalmával, amelyet szintén Édouard Roche után neveztek el. 

A Roche határ meghatározása

A Roche határ függ a hold szilárdságától. Egy teljesen szilárd hold megtartja alakját, mialatt az árapály erő szétaprítja. Egy nagyrészt folyékony anyagú hold erősen deformálódik az árapály hatása alatt.  A valódi holdak valahol e két határeset között vannak. 

Szilárd anyagú holdak

Egy szilárd, gömb alakú hold Roche határának kiszámításánál több közelítést tehetünk, melyek jelentősen leegyszerűsítik a feladatot. Feltesszük, hogy  hold végig megtartja gömb alakját, és eltekintünk a bolygó alakjának deformációjától, a hold forgásától és alakjától. 

Egy szilárd, gömb alakú hold esetén a d Roche határ:

 
ahol R a bolygó sugara, ρM  a bolygó sűrűsége és ρm  a hold sűrűsége.

Ha a hold több mint kétszer sűrűbb a bolygónál (ami előfordul az óriásbolygóknál), akkor a Roche határ a bolygó felszíne alatt van.

A képlet kiszámítása

A Roche határ közelítő meghatározásához tekintsünk egy kis utömeget a hold bolygó felé eső oldalán. Két, ellentétes irányú erő hat erre az u tömegre: a hold gravitációs ereje a hold középpontja felé, és a bolygó vonzóereje a bolygó felé. Utóbbi esetében csak az árapály erőt vesszük figyelembe, mivel a hold (szabadon esve) kering a bolygó körül.
Derivation of the Roche limit
Az m tömegű és r sugarú hold FG gravitációs vonzóereje az u felszíni tömegre a Newton-törvény alapján:
F_G = \frac{Gmu}{r^2}
A bolygó FT árapály ereje az u tömegre (d a távolság a két égitest centruma között):
F_T = \frac{2GMur}{d^3}
A Roche határ ott van, ahol ez a két erő megegyezik:
azaz
\frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3}
Innen kifejezhető a d Roche határ:
d = r \left( 2 M / m \right)^{\frac{1}{3}}
Azonban jó lenne, ha a hold r sugara nem szerepelne a képletben, ezért helyette a sűrűségeket vezetjük be.

Az R sugarú bolygó M tömege:

M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3} 
Hasonlóan az r sugarú hold m tömege:
m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3} 
A tömegek ezen kifejezését behelyettesítve, a Roche határ:
d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3}
azaz:
d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}

Folyékony holdak

A Roche határ pontosabb kiszámításánál figyelembe vesszük a hold alakjának deformációját is. 

A számítás igen bonyolult és csak numerikusan lehet megoldani. Roche a következő értéket kapta:

d \approx  2.44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3}
Egy pontosabb közelítés, amikor figyelembe vesszük a bolygó lapultságát és a hold tömegét is:
d \approx 2.423 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} \left( \frac{(1+\frac{m}{3M})+\frac{c}{3R}(1+\frac{m}{M})}{1-c/R} \right)^{1/3}
ahol  c / R  a bolygó lapultsága. 

A folyékony közelítés alkalmazható a laza összetételű kis égitestekre is, mint az üstökösök. Például a Shoemaker-Levy 9 üstökös 1992 júliusában szétesett, amikor a Jupiterhez túl közel került. A következő megközelítéskor, 1994-ben a darabjai becsapódtak a Jupiter légkörébe. A Shoemaker-Levy 9-et 1993-ban fedezték fel. A pályaszámítások szerint néhány évtizeddel korábban fogta be a Jupiter.

Roche határok a Naprendszerben 

központi égitest sűrűség (kg/m3) sugár (m)
Nap 1408 696.000.000
Jupiter 1326 71.492.000
Föld 5513 6.378.137
Hold 3346 1.738.100
Szaturnusz 687.3 60.268.000
Uránusz 1318 25.559.000
Neptunusz 1638 24.764.000

Ezeket az adatokat felhasználva könnyen kiszámíthatók a Roche határok akár szilárd, akár folyékony égitestekre. Az üstökösök átlagos sűrűsége 500 kg/m3.

A következő táblázat km-ben és a központi égitest sugarában (R) adja meg a Roche határ értékeket. A pontos Roche határ függ a keringő égitest sűrűségétől és szilárdságától.  
 
központi égitest keringő égitest Roche határ (szilárd) Roche határ (folyékony)
távolság (km) R távolság (km) R
Föld Hold 9.496 1,49 18.261 2,86
Föld átlagos üstökös 17.880 2,80 34.390 5,39
Nap Föld 554.400 0,80 1.066.300 1,53
Nap Jupiter 890.700 1,28 1.713.000 2,46
Nap Hold 655.300 0,94 1.260.300 1,81
Nap átlagos üstökös 1.234.000 1,78 2.374.000 3,42

Ha a központi égitest sűrűsége kevesebb mint fele a keringő égitestének, akkor a szilárd Roche határ kisebb mint a központi égitest sugara, és a két égitest hamarabb ütközne, mint hogy a szatellita a Roche határhoz érne.

Milyen közel vannak a Naprendszer holdjai a Roche határaikhoz? Az alábbi táblázatban belső holdak pályasugarának és Roche határának aránya szerepel. A Pan és a Naiad különösen közel van a szétesést jelentő zónához. Az óriásbolygók belső holdjainak sűrűsége pontosan nem ismert, ezeknél a feltüntetett értékek csak becslések (dőlt betűkkel). 
 
központi égitest keringő égitest pályasugár : Roche határ
(szilárd) (folyékony)
Nap Merkúr 104:1 54:1
Föld Hold 41:1 21:1
Mars Phobos 172% 89%
Deimos 451% 234%
Jupiter Metis ~186% ~94%
Adrastea ~188% ~95%
Amalthea 175% 88%
Thebe 254% 128%
Szaturnusz Pan 142% 70%
Atlas 156% 78%
Prometheus 162% 80%
Pandora 167% 83%
Epimetheus 200% 99%
Janus 195% 97%
Uránusz Cordelia ~154% ~79%
Ophelia ~166% ~86%
Bianca ~183% ~94%
Cressida ~191% ~98%
Desdemona ~194% ~100%
Juliet ~199% ~102%
Neptunusz Naiad ~139% ~72%
Thalassa ~145% ~75%
Despina ~152% ~78%
Galatea 153% 79%
Larissa ~218% ~113%
Plutó Charon 12.5:1 6.5:1

A Wikipédia és más források alapján készítette: Dr. Szatmáry Károly, Szegedi Tudományegyetem